Методы вычисления определителей. Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу) Вычислить определитель матрицы по строке
Определение1. 7 . Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.
Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.
Пример. Для
Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.
Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:
Теорема 1.1 . Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
где i=1,2,3.
Доказательство.
Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.
Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:
Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.
Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что при этом искать не требуется, так как следовательно, и Найдем и Следовательно,
Определители более высоких порядков .
Определение1. 9 . Определитель n-го порядка
есть сумма n! членов каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.
Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.
Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.
Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :
Следовательно,
Теоре́ма Лапла́са - одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 - 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году , хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.
олнение минора определяется следующим образом:
Справедливо следующее утверждение.
Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать столбцов из , то есть биномиальному коэффициенту .
Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.
Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)
Широко известен частный случай теоремы Лапласа - разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пусть - квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам.
Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:
Ответ.
12. Слау 3 порядка
1. Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.
2. Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
3. Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель
Решение.
Ответ.
4.Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
Напомним теорему Лапласа:
Теорема Лапласа:
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), . Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Для вычисления определителей в общем случае k берут равным 1. Т.е. в определителе d порядка n произвольно выбрана строка (или столбец). Тогда сумма произведений всех элементов, содержащихся в выбранной строке (или столбце), на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Пример:
Вычислить определитель
Решение:
Выберем произвольную строку или столбец. По причине, которая станет очевидной чуть позже, ограничим свой выбор или третьей строкой или четвертым столбцом. И остановимся на третьей строке.
Воспользуемся теоремой Лапласа.
Первый элемент выбранной строки равен 10, он стоит в третьей строке и первом столбце. Вычислим алгебраическое дополнение к нему, т.е. найдем определитель, полученный вычеркиванием столбца и строки, на которых стоит этот элемент (10) и выясним знак.
«плюс, если сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор M четна, и минус, если эта сумма нечетна.»
А минор мы взяли состоящий из одного единственного элемента 10, который стоит в первом столбце третьей строки.
Итак:
Четвертое слагаемое этой суммы равно 0, именно поэтому стоит выбирать строки или столбцы с максимальным числом нулевых элементов.
Ответ:
-1228
Пример:
Вычислить определитель:
Решение:
Выберем первый столбец, т.к. два элемента в нем равны 0. Разложим определитель по первому столбцу.
Каждый из определителей третьего порядка разложим по первой второй строке
Каждый из определителей второго порядка разложим по первому столбцу
Ответ:
48
Замечание:
при решении этой задачи не использовались формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков. Использовалось только разложение по строке или столбцу. Которое приводит к понижению порядка определителей.